Question

20．設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₃=$\frac{3}{2}$，S₃=$\frac{9}{2}$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂$\frac{6}{{a}_{2n+1}}$，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求使T_n=$\frac{n}{2}$+105成立的n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）討論q=1和q≠1的情況，分別應(yīng)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程即可得到公比和首項(xiàng)，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式．（2）分類討論q的取值，利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)求b_n，出再進(jìn)行化簡(jiǎn)，求得T_n，最后求得n的值．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)q=1時(shí)，${a}_{1}={a}_{3}=\frac{3}{2}$，${S}_{3}=\frac{3}{2}$成立；
當(dāng)q≠1時(shí)，${S}_{n}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}$，由${a}_{3}=\frac{3}{2}$，${S}_{3}=\frac{9}{2}$．
解得a₁=6，$q=-\frac{1}{2}$，則
${a}_{n}=6•（-\frac{1}{2}）^{n-1}$
綜上可知：${a}_{n}=\frac{3}{2}$或${a}_{n}=6•（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．
（Ⅱ）當(dāng)${a}_{n}=\frac{3}{2}$時(shí)，b_n=2則T_n=2n；
2n=$\frac{n}{2}$+105
則n=70
當(dāng)$_{n}=lo{g}_{2}\frac{6}{{a}_{2n+1}}$=$lo{g}_{2}\frac{6}{6（-\frac{1}{2}）^{2n}}$=$lo{g}_{2}{2}^{2n}$=2n，
∴${T}_{n}={n}^{2}+n$，
∴${n}^{2}+n=\frac{n}{2}+105$整理得：n²+n-210=0；
解得n=10
綜上可知n=10或n=70．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，對(duì)于q=1和q≠1進(jìn)行討論，最后進(jìn)行整理化簡(jiǎn)，求出n的值，屬于中檔題．