Question

15．已知函數(shù)f（x）=a-$\frac{1}{x}$-lnx．
（1）若a=2，求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若f（x）=0恰有一個解，求a的值．

Answer 1

分析 （1）導數(shù)值即為該點處的斜率，點斜式可得切線方程．
（2）f（x）_max=f（1）=a-1，分類討論，即可求得a的值．

解答 解：（1）∵a=2，∴f（1）=1．
∵f′（x）=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，∴f′（1）=0，
∴函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=1；
（2）f′（x）=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，∴f′（x）=0，x=1，
0＜x＜1，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；
x＞1，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
∴f（x）_max=f（1）=a-1．
①f（x）_max=0，a=1時，最大值點唯一，符合題意；
②f（x）_max＜0，即a＜1，f（x）＜0恒成立，符合題意；
③f（x）_max＞0，即a＞1，e^a＞1f（e^a）=-e^-a＜0，
∵e^-a＜1，f（e^-a）=2a-e^a≤ea-e^a＜0，則f（x）有兩個零點，不符合題意
綜上所述，a=1．

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用，函數(shù)的極值以及切線方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．