Question

2．已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x），滿足（1）f（x）＞0；（2）f（x）＜f′（x）＜2f（x）（其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù)），則$\frac{f（1）}{f（2）}$的范圍為（　　）

• A． （$\frac{1}{2{e}^{2}}$，$\frac{1}{e}$）
• B． （$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{e}$）
• C． （e，2e）
• D． （e，e³）

Answer 1

分析 根據(jù)題給定條件，設(shè)構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$與h（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{2x}}$，再利用導(dǎo)數(shù)判斷在（1，2）上函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則g'（x）=$\frac{f'（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＞0
∴g（x） 在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（1）＜g（2），即$\frac{f（1）}{e}$＜$\frac{f（2）}{{e}^{2}}$⇒$\frac{f（1）}{f（2）}$＜$\frac{1}{e}$；
令h（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{2x}}$，則h'（x）=$\frac{f'（x）-2f（x）}{{e}^{2x}}＜0$
∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以h（1）＞h（2），即$\frac{f（1）}{{e}^{2}}$＞$\frac{f（2）}{{e}^{4}}$⇒$\frac{f（1）}{f（2）}$＞$\frac{1}{{e}^{2}}$
綜上，$\frac{f（1）}{f（2）}$＜$\frac{1}{e}$ 且  $\frac{f（1）}{f（2）}$＞$\frac{1}{{e}^{2}}$．
故選：B

點評 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性以及構(gòu)造法的應(yīng)用，屬中等難度題．