Question

14．已知拋物線C：x²=2px的準線方程y=-$\frac{1}{2}$，該拋物線上的每個點到準線的距離都與到定點N的距離相等．
（1）求以N為圓心且與直線y=x相切的方程；
（2）經過點N的直線交拋物線C于A、B兩點，點E在拋物線的準線上，且BE∥y軸．證明：直線AE經過原點O．

Answer 1

分析 （1）由準線的方程可得拋物線的方程，及焦點坐標，由拋物線的定義可得N即為焦點，再由直線和圓相切的條件：d=r，進而得到圓的方程；
（2）由拋物線的焦點坐標，得到經過點N的直線的方程后代入到拋物線中消去y得到關于x的一元二次方程，進而得到兩根之積，根據(jù)BE∥y軸與點E在準線上可求得E的坐標，進而可表示出直線EO的斜率，同時可得到k也是直線OA的斜率，所以直線AE經過原點O，得證．

解答 解：（1）拋物線C：x²=2px的準線方程y=-$\frac{1}{2}$，
即有p=1，拋物線方程為x²=2y，焦點為（0，$\frac{1}{2}$），
由拋物線定義，可得定點N即為焦點（0，$\frac{1}{2}$），
由直線y=x和圓相切的條件可得，d=r=$\frac{|0-\frac{1}{2}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
即有圓的方程為x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{8}$；
（2）證明：如圖拋物線x²=2y的焦點為N（0，$\frac{1}{2}$），
所以經過點N的直線的方程可設為y=kx+$\frac{1}{2}$，
代入拋物線方程得x²-2kx-1=0，
若記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是該方程的兩個根，
所以x₁x₂=-1．
因為BE∥y軸，且點E在準線y=-$\frac{1}{2}$上，
所以點E的坐標為（x₂，-$\frac{1}{2}$），
故直線OE的斜率為k=-$\frac{1}{2{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}}{2}$
即k也是直線OA的斜率$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{1}}{2}$，
所以直線AE經過原點O．

點評 本小題考查拋物線的定義、方程和性質，直線和圓相切的條件，以及直線的方程和性質，考查運算能力和邏輯推理能力．