Question

9．（1）已知圓C的方程為x²+y²=4，直線l過(guò)點(diǎn)P（1，2），且與圓C交于A、B兩點(diǎn)．若|AB|=2$\sqrt{3}$，求直線l的方程；
（2）設(shè)直線l的方程為（a+1）x+y-2-a=0（a∈R）．若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直接聯(lián)立直線方程和圓的方程，求出A，B的坐標(biāo)，驗(yàn)證符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，由已知結(jié)合垂徑定理求出直線的斜率得答案；
（2）分直線過(guò)原點(diǎn)和不過(guò)原點(diǎn)求解，當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，該直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0，當(dāng)直線l不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，即a≠-2時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，由此求得a值得答案．

解答 解：（1）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得A（1，$-\sqrt{3}$），B（1，$\sqrt{3}$），符合題意；
當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí)，其方程可設(shè)為y-2=k（x-1），
又設(shè)圓心到直線l的距離為d，則d=$\frac{|2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
由d²=r²-$（\sqrt{3}）^{2}$，得k=$\frac{3}{4}$，
代入y-2=k（x-1），得y-2=$\frac{3}{4}$（x-1），
即3x-4y+5=0．
∴直線l的方程為3x-4y+5=0和x=1；
（2）當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，該直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0，
此時(shí)2+a=0，解得a=-2，此時(shí)直線l的方程為x-y=0；
當(dāng)直線l不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，即a≠-2時(shí)，
由直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等可得：
$\frac{2+a}{a+1}$=2+a，解得a=0，此時(shí)直線l的方程為x+y-2=0．
∴直線l的方程為x-y=0或x+y-2=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．