Question

19．在△ABC中，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2，∠BAC=$\frac{π}{3}$，則S_△ABC=$\sqrt{3}$；若點(diǎn)M為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且S_△AMC=1，$\frac{1}{{S}_{△AMB}}$+$\frac{1}{{S}_{△CMB}}$的最小值為$\frac{2（5+\sqrt{3}）}{11}$．

Answer 1

分析 由條件，根據(jù)向量數(shù)量積的計(jì)算公式便有$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|=4$，進(jìn)而得出S_△AMB=1，從而${S}_{△AMB}+{S}_{△CMB}=\sqrt{3}-1$，根據(jù)基本不等式即可得出${S}_{△AMB}•{S}_{△CMB}≤\frac{5-\sqrt{3}}{2}$，從而可以得出$\frac{1}{{S}_{△AMB}•{S}_{△CMB}}≥\frac{5+\sqrt{3}}{11}$，這樣根據(jù)基本不等式即可求出要求的最小值．

解答 解：根據(jù)題意：$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cos\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|=2$；
∴$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|=4$；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|sin\frac{π}{3}=\sqrt{3}$；
又S_△AMB=1；
∴${S}_{△AMB}+{S}_{△CMB}=\sqrt{3}-1$；
∴$\sqrt{3}-1≥2\sqrt{{S}_{△AMB}•{S}_{△CMB}}$；
∴$10-2\sqrt{3}≥4{S}_{△AMB}•{S}_{△CMB}$；
∴S_△AMB•S_△CMB≤$\frac{5-\sqrt{3}}{2}$；
∴$\frac{1}{{S}_{△AMB}•{S}_{△CMB}}≥\frac{2}{5-\sqrt{3}}=\frac{5+\sqrt{3}}{11}$；
∴$\frac{1}{{S}_{△AMB}}+\frac{1}{{S}_{△CMB}}≥\frac{2}{{S}_{△AMB}•{S}_{△CMB}}$$≥\frac{2（5+\sqrt{3}）}{11}$；
∴$\frac{1}{{S}_{△AMB}}+\frac{1}{{S}_{△CMB}}$的最小值為$\frac{2（5+\sqrt{3}）}{11}$．
故答案為：$\sqrt{3}，\frac{2（5+\sqrt{3}）}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)量積的計(jì)算公式，三角形的面積公式，以及基本不等式的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)．