Question

已知數(shù)列{a_n}中，a_n＞0，且對于任意正整數(shù)n有S_n=

1

2

(an+

1

an

)，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由S_n=

1

2

(an+

1

an

)，當n≥2時，Sn=

1

2

(Sn-Sn-1+

1

Sn-Sn-1

)，化為

S

2 n

-

S

2 n-1

=1，利用等差數(shù)列的通項公式可得S_n，進而得出a_n．

解答： 解：由S_n=

1

2

(an+

1

an

)，當n≥2時，Sn=

1

2

(Sn-Sn-1+

1

Sn-Sn-1

)，
化為

S

2 n

-

S

2 n-1

=1，
當n=1時，a1=

1

2

(a1+

1

a1

)，a₁＞0，解得a₁=1．
∴數(shù)列{

S

2 n

}是等差數(shù)列，首項為1，公差為1，
∴

S

2 n

=1+(n-1)=n，
∵?n∈N^*，a_n＞0，
∴Sn=

n

．
∴當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

n

-

n-1

．
當n=1時，上式也成立．
∴an=

n

-

n-1

．

點評：本題考查了遞推式的應用、等差數(shù)列的通項公式，考查了變形能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．