Question

9．已知函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）．
（1）求f（x）最小正周期；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值；
（3）求f（x）的遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用周期公式計(jì)算周期；
（2）根據(jù)x的范圍得出x+$\frac{π}{4}$的范圍，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性得出最值；
（3）令$\frac{π}{2}+2kπ$≤x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}+2kπ$解出f（x）的單調(diào)減區(qū)間．

解答 解：（1）f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{1}=2π$．
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴當(dāng)x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，y=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）取得最大值$\sqrt{2}$，
當(dāng)x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$時(shí)，y=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）取得最小值1．
（3）令$\frac{π}{2}+2kπ$≤x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}+2kπ$，解得$\frac{π}{4}$+2kπ≤x≤$\frac{5π}{4}$+2kπ．
∴f（x）的遞減區(qū)間是[$\frac{π}{4}$+2kπ，$\frac{5π}{4}$+2kπ]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)列出方程或不等式是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．