Question

12．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左焦點為F₁（-c，0），右焦點為F₂（c，0）．若橢圓上存在一點P，線段PF₂與圓${x^2}+{y^2}=\frac{c^2}{4}$相切于點E，且E為線段PF₂中點，則該橢圓的離心率為$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 如圖所示，連接OE，F(xiàn)₁P．利用切線的性質(zhì)可得OE⊥PF₂．利用三角形中位線定理可得：OE=$\frac{c}{2}$=$\frac{1}{2}P{F}_{1}$，OE∥PF₁．
再利用勾股定理與離心率計算公式即可得出．

解答 解：如圖所示，
連接OE，F(xiàn)₁P．
∵線段PF₂與圓${x^2}+{y^2}=\frac{c^2}{4}$相切于點E，∴OE⊥PF₂．
又O為F₁F₂的中點，
∴OE=$\frac{c}{2}$=$\frac{1}{2}P{F}_{1}$，OE∥PF₁．
∴PF₁=c，PF₂=2a-c，∠F₁PF₂=∠OEF₂=90^°．
∴c²+（2a-c）²=（2c）²，
化為：e²+2e-2=0，0＜e＜1，
解得e=$\sqrt{3}$-1．
故答案為：$\sqrt{3}$-1．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與圓相切性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．