Question

11．已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+1
（1）若函數(shù)y=f（x）在x∈[1，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍
（2）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分類(lèi)討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）將f（x）＞0分離參變量轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題．

解答 解：（1）a=0時(shí)，f（x）=-2x+1，符合題意；
a≠0時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=$\frac{1}{a}$，
a＜0時(shí)，函數(shù)y=f（x）在x∈[1，2]上是減函數(shù)，$\frac{1}{a}$≤1，∴a＜0；
a＞0時(shí)，函數(shù)y=f（x）在x∈[1，2]上是減函數(shù)，$\frac{1}{a}$≥2，∴0＜a≤$\frac{1}{2}$，
綜上所述，a≤$\frac{1}{2}$；
（2）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，ax²-2x+1＞0恒成立，可以化為：a＞-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{2}{x}$=-$（\frac{1}{x}-1）^{2}$+1恒成立，
又-$（\frac{1}{x}-1）^{2}$+1在x∈[1，2]上的最大值為1，所以a＞1．

點(diǎn)評(píng) 本題以求范圍為載體討論了函數(shù)的恒成立與函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，屬于中檔題．