Question

【題目】如圖，在四棱柱中，底面ABCD和側(cè)面都是矩形，E是CD的中點(diǎn)，，

.

（1）求證：；

（2）若平面與平面所成的銳二面角的大小為，求線段的長(zhǎng)度.

Answer 1

【答案】（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，由已知得，，所以利用線面平行的判定得平面，再利用線面垂直的性質(zhì)，得；第二問(wèn)，可以利用傳統(tǒng)幾何法求二面角的平面角，也可以利用向量法求平面和平面的法向量，利用夾角公式列出方程，通過(guò)解方程，求出線段的長(zhǎng)度..

（1）證明：∵底面和側(cè)面是矩形，

∴，

又∵

∴平面 3分

∵平面∴ ． 6分

（2）

解法1：延長(zhǎng)，交于，連結(jié)，

則平面平面

底面是矩形，是 的中點(diǎn)，，∴連結(jié)，則

又由（1）可知

又∵，

∴底面，∴∴平面 9

過(guò)作于，連結(jié)，則是平面與平面即平面與平面所成銳二面角的平面角，所以

又，∴

又易得，，從而由，求得． 12分

解法2：由（1）可知

又∵，∴底面 7分

設(shè)為的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖． 8分

設(shè)，則，，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量

∵，

由，得

令，得 9分

設(shè)平面法向量為，因?yàn)?，，

由 得令，得． 10分

由平面與平面所成的銳二面角的大小為，

得 ，解得． 即線段的長(zhǎng)度為． 12分