Question

11．如圖，設(shè)D是弦AB延長線上一點，且AB=2BD，過D作圓的切線于E，若C為線段AB的中點，連結(jié)EC交圓于點F，若$BC=\sqrt{3}CF$．
（Ⅰ）求證：EC=ED
（Ⅱ）求證：AE⊥ED．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用切割線定理、相交弦定理進行計算，即可證明：EC=ED；
（Ⅱ）證明EB⊥BD，即可證明：AE⊥ED．

解答 證明：（Ⅰ）設(shè)BC=x，則AC=BD=BC=x，$CF=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$，
易得：$D{E^2}=BD•AD=3{x^2}⇒DE=\sqrt{3}x$； 
EC•CF=BC•AC=x²⇒$EC•\frac{{\sqrt{3}}}{3}x=BC•AC={x^2}⇒EC=\sqrt{3}x⇒DE=EC$；
（Ⅱ）∵DE=EC，點B為中點，
∴EB⊥BD，
∵EA為直徑，ED為切線，
∴AE⊥ED．

點評 本題考查切割線定理、相交弦定理的運用，考查圓的切線的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．