Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=a${\;}_{n}^{2}$-na_n+1（n∈N^*）
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值，猜出通項(xiàng)a_n，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過a_n+1=a_n²-na_n+1、a₁=2代入計(jì)算即得結(jié)論；先證明n=1時(shí)等式成立，再假設(shè)n=k時(shí)等式成立，進(jìn)而論證n=k+1時(shí)，等式依然成立，最終得到不等式a_n=n+1成立；
（Ⅱ）求得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）依題意，a₂=a₁²-a₁+1=2²-2+1=3，
a₃=a₂²-2a₂+1=3²-2×3+1=4，
a₄=a₃²-3a₃+1=4²-3×4+1=5；
猜想：a_n=n+1．
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2，顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)，a_k=k+1，
那么a_k+1=a_k（a_k-k）+1
=（k+1）（k+1-k）+1
=k+2，
也就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=（k+1）+1．
由①、②可知：對(duì)于所有n≥1，有a_n=n+1．
（Ⅱ）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2（n+2）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，以及數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．