Question

14．已知AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A為切點，BP與⊙O交于C點，AP的中點為D．
（1）求證：四點O，A，D，C共圓；
（2）求證：AC•AP=PC•AB．

Answer 1

分析 （1）連接OC，OD，證明∠BAD+∠OCD=180°，可得四點O，A，D，C共圓；
（2）利用△ABP～△CBA及切割線的定理可證明：AC•AP=PC•AB．

解答 證明：（1）連接OC，OD，
∵AB為⊙O的直徑，可得∠BCA=90°，
在△ACP中，$CD=\frac{1}{2}AP=AD$，
∴∠DCA=∠DAC，
∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，可知∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DCA=90°，
即∠BAD+∠OCD=180°，
∴四點O，A，D，C是共圓的…（5分）
（2）∵△ABP～△CBA，∴$\frac{AC}{AP}=\frac{AB}{PB}⇒\frac{PB}{AP}=\frac{AB}{AC}$，
又因為PA為圓O的切線，由切割線的定理可知AP²=PC•PB，即$\frac{AP}{PC}=\frac{PB}{AP}$，
代入可得$\frac{AP}{PC}=\frac{AB}{AC}⇒AP•AC=AB•PC$…（10分）

點評 本題考查四點共圓的證明，考查△ABP～△CBA及切割線的定理的運用，屬于中檔題．