Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，側(cè)面PA⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（Ⅰ）求證：AD⊥PB；
（Ⅱ）求證：DM∥平面PCB；
（Ⅲ）求二面角A-BC-P的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取AD的中點G，連結(jié)PG、GB、BD，由已知得PG⊥AD，△ABD是正三角形，BG⊥AD，從而AD⊥平面PGB，由此能證明AD⊥PB．
（Ⅱ）取PB的中點F，聯(lián)結(jié)MF、CF，由已知得四邊形CDFM是平行四邊形，由此能證明DM∥平面PCB． 
（Ⅲ）取BC的中點E，聯(lián)結(jié)PE、GE，則∠PEC是二面角A-BC-P的平面角，由此能求出二面角A-BC-P的正切值．

解答： （Ⅰ）證明：取AD的中點G，連結(jié)PG、GB、BD． …（1分）
∵PA=PD，∴PG⊥AD．…（2分）
∵AB=AD，且∠DAB=60°，
∴△ABD是正三角形，BG⊥AD．…（3分）
∴AD⊥平面PGB，∴AD⊥PB．…（4分）
（Ⅱ）證明：取PB的中點F，聯(lián)結(jié)MF、CF，
∵M(jìn)、F分別為PA、PB的中點，
∴MF∥AB，且MF=

1

2

AB．…（5分）
∵四邊形ABCD是直角梯形，AB∥CD，且AB=2CD，
∴MF∥CD，且MF=CD．…（6分）
∴四邊形CDFM是平行四邊形，∴DM∥CF． …（8分）
∵CF?平面PCB，∴DM∥平面PCB． …（9分）
（Ⅲ）解：取BC的中點E，聯(lián)結(jié)PE、GE，
∵四邊形ABCD是直角梯形，且AB∥CD，
∴GE∥AB，GE⊥BC，∴BC⊥平面PEC，∴BC⊥PE，
∴∠PEC是二面角A-BC-P的平面角．…（11分）
設(shè)DC=a，則AB=AD=2a，
∵G、E分別為AD、BC中點，∴GE=

AB+CD

2

=

3

2

a．
∵G是等腰直角三角形PAD斜邊的中點，∴PG=

1

2

AD=a．…（13分）
∴tan∠PEG=

2

3

，∴二面角A-BC-P的正切值為

2

3

．…（14分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．