Question

17．設(shè)函數(shù)$f（x）=cos（2x+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}sin2x+2m，（x∈R，m∈R）$，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)$0≤x≤\frac{π}{4}$時(shí)，f（x）的最小值為0，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩角和的余弦公式、正弦公式化簡(jiǎn)解析式，由三角函數(shù)的周期公式求出f（x）的最小正周期，由正弦函數(shù)的增區(qū)間求出f（x）的增區(qū)間；
（Ⅱ）由x的范圍求出2x+$\frac{π}{6}$的范圍，由正弦函數(shù)的圖象、性質(zhì)和條件列出方程，求出m的值．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=cos（2x+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}sin2x+2m$
=$cos2xcos\frac{π}{3}-sin2xsin\frac{π}{3}+\sqrt{3}sin2x+2m$
=$\frac{1}{2}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+2m=sin（2x+\frac{π}{6}）+2m$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$得，
$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$，
則f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]$，k∈Z，
且f（x）的最小正周期為T=π；
（Ⅱ）∵$0≤x≤\frac{π}{4}$，∴$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{2π}{3}$，
則$\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，
∵f（x）的最小值為0，
∴$\frac{1}{2}+2m=0$，解得$m=-\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩角和的余弦公式、正弦公式，以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查整體思想，化簡(jiǎn)、變形能力．