Question

1．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a=3，1+$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c}$，則b+c的最大值為6．

Answer 1

分析 由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得cosA，進(jìn)而利用余弦定理，基本不等式即可得解．

解答 解：在△ABC中，∵1+$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c}$，∴整理可得：$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c-b}$，
∴$\frac{sinAcosB}{cosAsinB}$=$\frac{2sinC-sinB}{sinB}$，
∴sinAcosB=2sinCcosA-sinBcosA，
∴sinC=2sinCcosA，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，可得：A=60°，
∴由余弦定理可得：9=a²=b²+c²-2bccos$\frac{π}{3}$=（b+c）²-3bc，即（b+c）²=9+3bc≤9+$\frac{3（b+c）^{2}}{4}$，
∴解得：（b+c）²≤36，
∴b+c≤6，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時，（b+c）_max=6．
故答案為：6．

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理，基本不等式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．