已知△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C對(duì)應(yīng)的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且有4bcosAcosB=9asin2B．
（1）求tanA-tanB的值；
（2）求tanC的最大值，并判斷此時(shí)△ABC的形狀．
考點(diǎn)：正弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用
專(zhuān)題：解三角形
分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，由sinB不為0，整理后再由cosAcosB不為0求出原式的值即可；
（2）由（1）中的結(jié)論，判斷得到tanA與tanB大于0，利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)tanC，并利用基本不等式求出tanAtanB的最大值，即為tanC的最大值，即可做出判斷．
解答： 解：（1）∵4bcosAcosB=9asin2B，
∴由正弦定理化簡(jiǎn)得：4sinBcosAcosB=9sinAsin2B，
∵sinB≠0，
∴4cosAcosB=9sinAsinB，
∵cosAcosB≠0，
∴tanA•tanB=
4
9
；
（2）由（1）知，tanA•tanB=
4
9
＞0，
∴tanA＞0，tanB＞0，
∴tanA+tanB≥2
tanAtanB
=
4
3
，
∵tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）=-
tanA+tanB
1-tanAtanB
=-
9
5
（tanA+tanB）≤-
9
5
×2
tanAtanB
=-
12
5
，
當(dāng)且僅當(dāng)tanA=tanB，即A=B時(shí)，tanC取得最大值-
12
5
，此時(shí)△ABC為等腰三角形．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，點(diǎn)P是函數(shù)y=2sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0）的圖象的最高點(diǎn)，M，N是該圖象與x軸的交點(diǎn)，若
PM
•
PN
=0，則ω的值為（　　）
A、
π
8
B、
π
4
C、4
D、8

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè){an}是公差不為零的等差數(shù)列，a2=2，且a1，a3，a9成等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=（　�。�
A、
n2
4
+
7n
4
B、
n2
2
+
3n
2
C、
n2
4
+
3n
4
D、
n2
2
+
n
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)集合A={x|x2-x-2≤0}，B={1，2，3}，那么A∩B=（　�。�
A、{-1，0，1，2，3}
B、{-1，0，3}
C、{1，2，3}
D、{1，2}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2
2
，將△ABC沿對(duì)角線(xiàn)AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到如圖所示的三棱錐B-ACD．若O為AC邊的中點(diǎn)，N，N分別為線(xiàn)段DC，BO上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且BN=CM．設(shè)BN=x，則三棱錐N-AMC的體積y=f（x）的函數(shù)圖象大致是（　　）
A、
B、
C、
D、

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求下列各式的植：
（Ⅰ）(
1
4
)
1
2
+2-3×[(-2)3]
2
3
+(
2
-1)0；
（Ⅱ）log327+lg4+lg25+10lg2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

命題p：?x＞0，ex＞1，則?p是（　�。�
A、?x0≤0，ex0≤1
B、?x0＞0，ex0≤1
C、?x＞0，ex≤1
D、?x≤0，ex≤1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（不等式選做題）若不等式|x+2|+|x-3|≥a+
4
a-1
對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知A、B為拋物線(xiàn)x2=2py（p＞0）上兩點(diǎn)，直線(xiàn)AB過(guò)焦點(diǎn)F，A、B在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影分別為C、D，則
①
CF
•
DF
=0；
②存在實(shí)數(shù)λ使得
AD
=λ
AO
（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
③若線(xiàn)段AB的中點(diǎn)P在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影為T(mén)，有
FT
•
AB
=0；
④拋物線(xiàn)在A(yíng)點(diǎn)的切線(xiàn)和在B點(diǎn)切線(xiàn)一定相交，并且相互垂直．
其中說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（　�。�
A、1B、2C、3D、4

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