Question

6．函數(shù)f（x）=sin²ωx+$\sqrt{3}$sinωxcosωx-$\frac{1}{2}$（ω＞0）的圖象與直線y=m相切，相鄰切點(diǎn)之間的距離為π，
（1）求m和ω的值，
（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，
（3）問：試否存在實(shí)數(shù)n，使得函數(shù)f（x）的圖象與直線$\sqrt{6}$x+y+n=0相切，若能，請(qǐng)求出n的值，若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用二倍角和輔助角公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，圖象與直線y=m相切，相鄰切點(diǎn)之間的距離為π，可得周期為2π，再利用周期公式可得m和ω的值，
（2）將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）利用導(dǎo)函數(shù)求出f（x）的切線方程，可得斜率范圍，圖象與直線$\sqrt{6}$x+y+n=0相切，看該直線的斜率是否在范圍之內(nèi)，可得結(jié)論．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin²ωx+$\sqrt{3}$sinωxcosωx-$\frac{1}{2}$（ω＞0）
化簡(jiǎn)可得：f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx
=sin（2ωx$-\frac{π}{6}$）
（1）∵圖象與直線y=m相切，直線y=m必過頂點(diǎn)，
故得m=±1；
∵相鄰切點(diǎn)之間的距離為π，可知周期為π，即$\frac{2}{2ω}$=π，
解得：ω=1．
可得函數(shù)f（x）=sin（2x$-\frac{π}{6}$）
（2）由（1）可得函數(shù)f（x）=sin（2x$-\frac{π}{6}$）
根據(jù)正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)可得：2x$-\frac{π}{6}$∈[$2kπ-\frac{π}{2}$，2kπ$+\frac{π}{2}$]（k∈Z）上是單調(diào)遞增，
即$2kπ-\frac{π}{2}$≤2x$-\frac{π}{6}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$，
解得：$kπ-\frac{π}{6}$≤x≤$kπ+\frac{π}{3}$，
故得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[$kπ-\frac{π}{6}$，$kπ+\frac{π}{3}$]，（k∈Z）．
（3）不存在實(shí)數(shù)n這樣的數(shù)；
∵函數(shù)f（x）=sin（2x$-\frac{π}{6}$）
f′（x）=2cos（2x$-\frac{π}{6}$）
∴曲線f（x）的斜率范圍是[-2，2]．
如果圖象與直線$\sqrt{6}$x+y+n=0相切，必然斜率在其范圍之內(nèi)，
而直線$\sqrt{6}$x+y+n=0的斜率k=$-\sqrt{6}$∉[-2，2]．
∴直線$\sqrt{6}$x+y+n=0與圖象不相切．
故而不存在實(shí)數(shù)n．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．同時(shí)考查了導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，切線問題，屬于中檔題．