Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，給出下列四個命題：
①函數(shù)f（|x|）為偶函數(shù)；
②若f（a）=|f（b）|其中a＞0，b＞0，a≠b，則ab=1；
③函數(shù)f（-x²+2x）在（1，3）上為單調(diào)遞增函數(shù)；
④若0＜a＜1，則|f（1+a）|＜|f（1-a）|．
則正確命題的序號是①②④．

Answer 1

分析 ①由f（|-x|）=f（|x|），即可得出f（|x|）為偶函數(shù)；
②若f（a）=|f（b）|其中a＞0，b＞0，∵a≠b，可得f（a）=|f（b）|=-f（b），利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得：log${\;}_{\frac{1}{2}}$（ab）=0，可得ab=1．
③函數(shù)f（-x²+2x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}[-（x-1）^{2}+1]$，由-x²+2x＞0，解出可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?，2），即可判斷出正誤；
④由0＜a＜1，可得1+a＞1-a，f（1+a）＜0＜f（1-a），作差|f（1-a）|-|f（1-a）|=-f（1+a）-f（1-a），化簡即可得出正誤．

解答 解：f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，x＞0．
①函數(shù)f（|x|）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$|x|，∵f（|-x|）=f（|x|），∴f（|x|）為偶函數(shù)，正確；
②若f（a）=|f（b）|其中a＞0，b＞0，∵a≠b，∴f（a）=|f（b）|=-f（b），
∴l(xiāng)og${\;}_{\frac{1}{2}}$a+log${\;}_{\frac{1}{2}}$b=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（ab）=0，∴ab=1．因此正確．
③函數(shù)f（-x²+2x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（-{x}^{2}+2x）$=$lo{g}_{\frac{1}{2}}[-（x-1）^{2}+1]$，由-x²+2x＞0，解得0＜x＜2，
∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?，2），因此在（1，3）上不具有單調(diào)性，不正確；
④若0＜a＜1，∴1+a＞1-a，∴f（1+a）＜0＜f（1-a），故|f（1-a）|-|f（1-a）|=-f（1+a）-f（1-a）=-$lo{g}_{\frac{1}{2}}（1-{a}^{2}）$＜0，即|f（1-a）|＜|f（1-a）|，因此正確．
綜上可得：只有①②④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．