Question

已知函數(shù)f（3^x-2）=x-1（x∈[0，2]），函數(shù)g（x）=f（x-2）+3．
（1）求函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的解析式，并求出f（x），g（x）的定義域；
（2）設(shè)h（x）=[g（x）]²+g（x²），試求函數(shù)y=h（x）的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)t=3^x-2，于是有f（t）=log₃（t+2）-1，求出t的范圍，把t換為x，可得f（x）的解析式，進(jìn)一步可求g（x）的解析式，
再根據(jù)解析式求函數(shù)f（x）與g（x）的定義域；
（2）設(shè)t=log₃x，則h（x）=t²+6t+6，這樣就把原來的函數(shù)變成關(guān)于t的二次函數(shù)，用二次函數(shù)求最值．

解答： 解：（1）設(shè)t=3^x-2，∵0≤x≤2，∴-1≤3^x-2≤7，∴t∈[-1，7]，則x=log₃（t+2），
于是有f（t）=log₃（t+2）-1，t∈[-1，7]
∴f（x）=log₃（x+2）-1（x∈[-1，7]），
根據(jù)題意得g（x）=f（x-2）+3=log₃x+2
又由-1≤x-2≤7得1≤x≤9
∴g（x）=log₃x+2（x∈[1，9]）…（7分）
（2）∵g（x）=log₃x+2，x∈[1，9]
∴要使函數(shù)h（x）=[g（x）]²+g（x²）有意義，
必須

1≤x2≤9 1≤x≤9

∴1≤x≤3，
∴h(x)=[g(x)]2+g(x2)=(log3x+2)2+2+log3x2=(log3x)2+6log3x+6（1≤x≤3）
設(shè)t=log₃x，則h（x）=t²+6t+6=（t+3）²-3（0≤t≤1）是[0，1]上增函數(shù)，
∴t=0時(shí)h（x）_min=6，t=1時(shí)h（x）_max=13
∴函數(shù)y=h（x）的最大值為13，最小值為6．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求函數(shù)的定義域，同時(shí)考查求函數(shù)的解析式，換元法是解題的關(guān)鍵．