Question

4．已知函數(shù)$f（x）=lnx+\frac{1}{x}-1$．
（1）求函數(shù)的單調(diào)性；
（2）證明：$ln[2•3•4…（n+1）]＜\frac{{{n^2}+n}}{2}（n∈N*）$．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進行求解即可．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得到lnx＞1-$\frac{1}{x}$，根據(jù)不等式關(guān)系利用放縮法進行證明即可．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞），
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0得x＞1，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得0＜x＜1，此時函數(shù)單調(diào)遞減．
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）．
（2）證明：由（1）知函數(shù)f（x）的最小值為f（1）=0，
∴f（x）＞0，（x＞0且x≠1），即lnx＞1-$\frac{1}{x}$，
∴l(xiāng)n$\frac{1}{2}$＞1-2=-1，
ln$\frac{1}{3}$＞1-3=-2，
…
ln$\frac{1}{n+1}$＞1-（n+1）=-n，
∴l(xiāng)n$\frac{1}{2}$+ln$\frac{1}{3}$+…+ln$\frac{1}{n+1}$＞-1-2-…-n=$-\frac{{n}^{2}+n}{2}$，
即不等式成立．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解以及不等式的證明，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性，最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．