Question

16．已知A（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…+$\frac{{x}^{2017}}{2017}$，B（x）=1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{{x}^{4}}{4}$-…-$\frac{{x}^{2017}}{2017}$，設(shè)函數(shù)F（x）=A（x+5）•B（x-6）且F（x）的零點(diǎn)均在區(qū)間[m，n]（m＜n，m，n∈Z）內(nèi)，則n-m的最小值為（　�。�

• A． 11
• B． 12
• C． 13
• D． 14

Answer 1

分析 需要利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求得A（x），B（x）的單調(diào)性，再由零點(diǎn)存在性定理求得零點(diǎn)．進(jìn)而求得A（x+5）和B（x-6）的零點(diǎn)．

解答 解：A′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁶=$\frac{1+{x}^{2017}}{1+x}$＞0，A（0）=1＞0，A（-1）＜0，由零點(diǎn)存在性定理知，A（x）=0的根在（-1，0）內(nèi)．
B′（x）=-1+x-x²+x³-…-x²⁰¹⁶=-$\frac{1+{x}^{2017}}{1+x}$＜0，B（0）=1＞0，B（1）＞0，B（2）＜0，由零點(diǎn)存在性定理知，B（x）=0的根在（1，2）內(nèi)．
求A（x+5）=0的根，-1＜x+5＜0，-6＜x＜-5；求B（x-6）=0的根，1＜x-6＜2，解得7＜x＜8，F(xiàn)（x）的零點(diǎn)均在區(qū)間[m，n]內(nèi)，故n-m的最小值為
8-（-6）=14．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，同時(shí)運(yùn)用了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想．綜合性較強(qiáng)，屬于難題．