Question

5．已知M是△ABC內(nèi)的一點，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為1，x，y，則 $\frac{y+4x}{xy}$的最小值是（　�。�

• A． 20
• B． 18
• C． 16
• D． 9

Answer 1

分析 利用向量的數(shù)量積的運算求得bc的值，利用三角形的面積公式求得x+y的值，進而利用1的代換，利用基本不等式求得$\frac{y+4x}{xy}$=$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$的最小值．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，
∴bccos30°=4$\sqrt{3}$，
化為bc=8．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsin3{0}^{°}$=$\frac{1}{2}×8×\frac{1}{2}$=2．
∴1+x+y=2．則x+y=1，
而 $\frac{y+4x}{xy}$=$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$）×（x+y）=5+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$≥5+2$\sqrt{\frac{y}{x}×\frac{4x}{y}}$=5+4=9，
當且僅當$\frac{y}{x}$=$\frac{4x}{y}$，即y=2x時取等號，
故 $\frac{y+4x}{xy}$的最小值是9，
故選：D．

點評 本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，向量的數(shù)量積的運算．利用1的代換結(jié)合基本不等式是解決本題的關(guān)鍵．