Question

10．如圖，已知小矩形蓄水池ABCD中，AB=3米，AD=2米，現(xiàn)要將小矩形蓄水池擴(kuò)建為大矩形蓄水池AEPF，使點(diǎn)B在AE上，點(diǎn)D在AF上，且對角線EF過點(diǎn)C．
（1）分別求矩形AEPF的面積和周長的最小值及對應(yīng)AE的長；
（2）求|CF|•|CE|的最小值及此時AE的長．

Answer 1

分析 以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)E（a，0），F(xiàn)（0，b），則直線EF方程為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1，得出$\frac{3}{a}+\frac{2}$=1．
（1）分別求矩形AEPF的面積和周長，利用基本不等式，即可求出最小值及對應(yīng)AE的長；
（2）利用|CF|•|CE|=-$\overrightarrow{CF}$$•\overrightarrow{CE}$，即可求|CF|•|CE|的最小值及此時AE的長．

解答 解：以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)E（a，0），F(xiàn)（0，b），則直線EF方程為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1，

∵EF過點(diǎn)C，∴$\frac{3}{a}+\frac{2}$=1．
（1）矩形AEPF的面積S=ab，1=$\frac{3}{a}+\frac{2}$≥$2\sqrt{\frac{6}{ab}}$，
∴ab≥24，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{3}{a}=\frac{2}$，即a=6，b=4時等號成立；
周長l=2（a+b）=2（a+b）（$\frac{3}{a}+\frac{2}$）=2（5+$\frac{3b}{a}$+$\frac{2a}$）≥2（5+2$\sqrt{6}$），
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{3b}{a}$=$\frac{2a}$，即a=3+$\sqrt{6}$時等號成立；
（2）∵$\overrightarrow{CF}$$•\overrightarrow{CE}$=-|CF|•|CE|，
∴|CF|•|CE|=-$\overrightarrow{CF}$$•\overrightarrow{CE}$=-（-3，b-2）•（a-3，-2）=3a+2b-13=（3a+2b）（$\frac{3}{a}+\frac{2}$）-13=$\frac{6b}{a}+\frac{6a}$≥12，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b，即a=5時等號成立，
∴|CF|•|CE|的最小值為12，此時AE=5．

點(diǎn)評 本題考查基本不等式的運(yùn)用，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．