Question

2．已知：cosα+sinα=$\frac{2}{3}$，則$\frac{\sqrt{2}sin（2α-\frac{π}{4}）+1}{1+tanα}$的值為-$\frac{5}{9}$．

Answer 1

分析 將已知等式兩邊平方，利用二倍角公式可求sin2α=-$\frac{5}{9}$，將所求利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡即可得解．

解答 解：∵cosα+sinα=$\frac{2}{3}$，
∴兩邊平方可得：1+sin2α=$\frac{4}{9}$，可得：sin2α=-$\frac{5}{9}$，
∴$\frac{\sqrt{2}sin（2α-\frac{π}{4}）+1}{1+tanα}$=$\frac{sin2α-cos2α+1}{1+tanα}$=$\frac{2sinαcosα-（1-2si{n}^{2}α）+1}{\frac{cosα+sinα}{cosα}}$=$\frac{2sinαcosα（cosα+sinα）}{cosα+sinα}$
=sin2α=-$\frac{5}{9}$．
故答案為：-$\frac{5}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．