Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x

+lnx．
（1）若g（x）=f（x）-mx在[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若在[1，e]上至少存在一個(gè)x₀，使得kx₀-f（x₀）＞

2e

x0

成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)g′（x）=

1

x

-

1

x2

-m=-（

1

x

-

1

2

）²+

1

4

-m；從而使導(dǎo)數(shù)恒大于或小于0即可；
（2）在[1，e]上，kx₀-f（x₀）＞

2e

x0

可化為k＞

1+2e

x 2 0

+

lnx0

x0

；從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．

解答： 解：（1）g（x）=f（x）-mx=

1

x

+lnx-mx；
g′（x）=

1

x

-

1

x2

-m=-（

1

x

-

1

2

）²+

1

4

-m；
∵x∈[1，+∞），
∴0＜

1

x

≤1；
故-

1

2

＜

1

x

-

1

2

≤

1

2

；
故0≤（

1

x

-

1

2

）²≤

1

4

；
故-m≤

1

4

-m-（

1

x

-

1

2

）²≤

1

4

-m；
故-m≥0或

1

4

-m≤0；
故m≤0或m≥

1

4

；
（2）在[1，e]上，kx₀-f（x₀）＞

2e

x0

可化為
k＞

1+2e

x 2 0

+

lnx0

x0

；
令F（x）=

1+2e

x2

+

lnx

x

；
故F′（x）=

-2(1+2e)

x3

+

1-lnx

x2

=

x(1-lnx)-2(1+2e)

x3

；
令m（x）=x（1-lnx）-2（1+2e）；
故m′（x）=-lnx≤0，
故m（x）≤m（1）=1-2（1+2e）＜0；
故F（x）=

1+2e

x2

+

lnx

x

在[1，e]上是減函數(shù)，
故

1+3e

e2

≤

1+2e

x 2 0

+

lnx0

x0

≤1+2e；
故k＞

1+3e

e2

．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了恒成立問題及存在性問題，屬于難題．