Question

14．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，BC⊥AB，點M、N分別是線段A₁C₁，A₁B的中點．
（1）求證：平面A₁BC⊥平面A₁AB．
（2）設(shè)平面MNB₁與平面BCC₁B₁的交線為l，求證：MN∥l．

Answer 1

分析 （1）由AA₁⊥平面ABC，得AA₁⊥BC，又BC⊥AB，所以BC⊥平面A₁AB，故平面A₁BC⊥平面A₁AB；
（2）連結(jié)BC₁，由中位線定理可得MN∥BC₁，于是MN∥平面BCC₁B₁，由線面平行的性質(zhì)得出MN∥l．

解答 證明：（1）∵AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴AA₁⊥BC，
又∵BC⊥AB，AA₁?平面A₁AB，AB?平面A₁AB，AA₁∩AB=A，
∴BC⊥平面A₁AB，又∵BC?平面A₁BC，
∴平面A₁BC⊥平面A₁AB．
（2）連結(jié)BC₁，
∵點M、N分別是線段A₁C₁，A₁B的中點，
∴MN∥BC₁，又MN?平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁，
∴MN∥平面BCC₁B₁，
∵MN?平面MNB₁，平面MNB₁∩平面BCC₁B₁=l，
∴MN∥l．

點評 本題考查了面面垂直的判定，線面平行的性質(zhì)與判定，屬于基礎(chǔ)題．