Question

5．設函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）．已知當|x|≤1時，|f（x）|≤1恒成立．
（1）若a=0，求實數(shù)b的取值范圍；
（2）求a-3b的最大值．

Answer 1

分析 （1）a=0，f（x）=x²+b，當|x|≤1時，|f（x）|≤1恒成立，可得$\left\{\begin{array}{l}{|b|≤1}\\{|f（-1）|≤1}\\{|f（1）|≤1}\end{array}\right.$，即可求實數(shù)b的取值范圍；
（2）當|x|≤1時，|f（x）|≤1恒成立，|f（-1）|≤1，|f（1）|≤1，利用a-3b=-2f（-1）-f（1）+3，求a-3b的最大值．

解答 解：（1）a=0，f（x）=x²+b，
∵當|x|≤1時，|f（x）|≤1恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{|b|≤1}\\{|f（-1）|≤1}\\{|f（1）|≤1}\end{array}\right.$，∴-1≤b≤0；
（2）∵當|x|≤1時，|f（x）|≤1恒成立，
∴|f（-1）|≤1，|f（1）|≤1．
∵f（-1）=1-a+b，f（1）=1+a+b，
∴a-3b=-2f（-1）-f（1）+3，
∵-3≤2f（-1）+f（1）≤3，
∴-3≤-2f（-1）-f（1）≤3，
∴0≤-2f（-1）-f（1）+3≤6，
∴a-3b的最大值是6．

點評 本題考查函數(shù)性質(zhì)的運用，考查恒成立問題，考查學生轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．