Question

20．已知關(guān)于x的方程3x²-2ax+a-1=0（x∈R）．
（1）證明不論a取任何實(shí)數(shù)值，方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若兩根x₁，x₂滿足|x₁-x₂|=$\frac{2}{3}$，求a的值；
（3）若兩根x₁，x₂滿足x₁＜2且x₂＞2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程的判別式△大于零恒成立，可得方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）利用韋達(dá)定理求得x₁+x₂和 x₁•x₂的值，再根據(jù)|x₁-x₂|=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$=$\frac{2}{3}$，求得a的值．
（3）由題意可得f（2）=12-4a+a-1＜0，求得實(shí)數(shù)a的范圍．

解答 解：（1）證明：∵關(guān)于x的方程3x²-2ax+a-1=0，∵它的判別式△=4a²-12（a-1）=4[${（a-\frac{3}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$]＞0恒成立，
故不論a取任何實(shí)數(shù)值，方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）利用韋達(dá)定理可得x₁+x₂ =$\frac{2a}{3}$，x₁•x₂=$\frac{a-1}{3}$，∴|x₁-x₂|=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{4a}^{2}}{9}-\frac{4（a-1）}{3}}$=$\frac{2}{3}$，
求得a=1，或 a=2．
（3）若兩根x₁，x₂滿足x₁＜2且x₂＞2，則f（2）=12-4a+a-1＜0，求得實(shí)數(shù)a＞$\frac{11}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．