Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x+t，x＜0}\\{x+lnx，x＞0}\end{array}\right.$，其中t是實(shí)數(shù)．設(shè)A，B為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，且x₁＜x₂
（1）若x₂＜0，函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直，求x₁-2x₂的最大值；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A，B處的切線重合，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知f′（x₁）f′（x₂）=-1，可得（2x₁+4）（2x₂+4）=-1，從而x₁-2x₂=-[$\frac{1}{4（{x}_{2}+2）}$+2（2+x₂）]+2，即可得出x₁-2x₂的最大值；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A，B處的切線重合，得出t=${{x}_{1}}^{2}$-1-ln（2x₁+3），最后利用導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性和最值，即可得出t的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)x₂＜0時(shí)，x₁＜0．
由已知f′（x₁）f′（x₂）=-1，∴（2x₁+4）（2x₂+4）=-1，
故x₁=$\frac{1}{4{x}_{2}+8}$=2…（2分）
∴x₁-2x₂=-[$\frac{1}{4（{x}_{2}+2）}$+2（2+x₂）]+2，
∵2x₁+4＜2x₂+4，∴2x₁+4＜0＜2x₂+4，
∴x₁-2x₂≤2-$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)x₂=$\frac{\sqrt{2}}{4}$-2時(shí)，等號成立，
故x₁-2x₂的最大值為2-$\sqrt{2}$…（5分）
（2）由題意得，f′（x₁）=f′（x₂）=$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$…（6分）
∵x₁＜x₂，∴x₁＜0，x₂＞0．
∴2x₁+4=1+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}+ln{x}_{2}-（{{x}_{1}}^{2}+4{x}_{1}+t）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
解得t=${{x}_{1}}^{2}$-1-ln（2x₁+3），
令g（x）=x²-1-ln（2x+3），-$\frac{3}{2}$＜x＜0，則g′（x）=2x-$\frac{2}{2x+3}$…（8分）
∵x＜0，2x+3＞0，∴g′（x）＜0，故g（x）在（-$\frac{3}{2}$，0）內(nèi)單調(diào)遞減…（10分）
∴當(dāng)x∈（-$\frac{3}{2}$，0）時(shí)，g（x）＞g（0）=-1-ln3，
∴t＞-1-ln3，即t的取值范圍為（-1-ln3，+∞）…（12分）

點(diǎn)評 本題以函數(shù)為載體，考查分段函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查直線的位置關(guān)系的處理，注意利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值．