Question

7．設T_n為等比數(shù)列{a_n}的前n項之積，且a₁=-6，${a_4}=-\frac{3}{4}$，則公比q=$\frac{1}{2}$，當T_n最大時，n的值為4．

Answer 1

分析 a₁=-6，${a_4}=-\frac{3}{4}$，可得：$-\frac{3}{4}$=-6q³，解得q=$\frac{1}{2}$．可得a_n．于是T_n=（-6）ⁿ$（\frac{1}{2}）^{\frac{n（n-1）}{2}}$．只考慮n為偶數(shù)時，$\frac{{T}_{2n+2}}{{T}_{2n}}$與1比較即可得出．

解答 解：∵a₁=-6，${a_4}=-\frac{3}{4}$，
∴$-\frac{3}{4}$=-6q³，
解得q=$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$-6×（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
∴T_n=（-6）ⁿ×$（\frac{1}{2}）^{0+1+2+…+（n-1）}$
=（-6）ⁿ$（\frac{1}{2}）^{\frac{n（n-1）}{2}}$．
T_2n=36ⁿ$（\frac{1}{2}）^{n（2n-1）}$．
$\frac{{T}_{2n+2}}{{T}_{2n}}$=$\frac{3{6}^{n+1}（\frac{1}{2}）^{（n+1）（2n+1）}}{3{6}^{n}（\frac{1}{2}）^{n（2n-1）}}$=36•$（\frac{1}{2}）^{4n+1}$．
n=1時，$\frac{{T}_{4}}{{T}_{2}}$=$\frac{9}{8}$$\frac{36}{32}$＞1；n≥2時，$\frac{{T}_{2n+2}}{{T}_{2n}}$＜1．
∴T₂＜T₄＞T₆＞T₈＞…．
則公比q=$\frac{1}{2}$，當T_n最大時，n的值為4．
故答案分別為：$\frac{1}{2}$；4．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．