Question

15．如圖，四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA=AB，M、N分別是PC、PD的中點(diǎn)，則異面直線BM與CN所成的角大小為（　�。�

• A． $\frac{π}{2}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． arccos$\frac{\sqrt{2}}{3}$
• D． π-arccos$\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線BM與CN所成的角的大�。�

解答 解：∵四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，
∴以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PA=AB=2，則B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），
M（1，1，1），D（0，2，0），N（0，1，1），
$\overrightarrow{BM}$=（-1，1，1），$\overrightarrow{CN}$=（-2，-1，1），
設(shè)異面直線BM與CN所成的角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{CN}|}{|\overrightarrow{BN}|•|\overrightarrow{CN}|}$=$\frac{2}{\sqrt{3}×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴θ=arccos$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴異面直線BM與CN所成的角的大小為arccos$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．