Question

12．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知acosB-（2c-b）cosA=0．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若a=4，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡，整理后求出cosA的值，即可確定出角A的大��；
（Ⅱ）由a，cosA的值，利用余弦定理列出關系式，再利用基本不等式求出bc的最大值，即可確定出三角形ABC面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，已知等式acosB-（2c-b）cosA=0，
利用正弦定理化簡得：sinAcosB-（2sinC-sinB）cosA=0，
整理得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA，即sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A為三角形內(nèi)角，
∴A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵a=4，A=$\frac{π}{3}$，
∴由余弦定理得：16=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，即bc≤16，
當且僅當b=c時取等號，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤4$\sqrt{3}$，當且僅當b=c時取等號，
則△ABC面積的最小值為4$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．