分析 (1)設P(x,y),(x,y>0),則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=x2+y2-3=-$\frac{5}{4}$,又$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1,聯(lián)立解出即可得出.
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2).①若l的斜率不存在時,l:x=$±\frac{1}{2}$,代入橢圓方程得:y2=$\frac{15}{16}$,
容易得出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$≠0,此時OA⊥OB不成立.
②若l的斜率存在時,設l:y=kx+m,則由已知可得$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$.直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得:(4k2+1)x2+8kmx+4(m2-1)=0,要OA⊥OB,則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0,即x1•x2+(kx1+m)(kx2+m)=km(x1+x2)+(k2+1)x1•x2+m2=0,把根與系數(shù)的關系代入可得5m2-4k2-4=0,又k2+1=4m2.解出即可判斷出結論.
解答 解:(1)由橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1,可知:a=2,b=1,c=$\sqrt{3}$,
∴F1(-$\sqrt{3}$,0),F(xiàn)2($\sqrt{3}$,0),設P(x,y),(x,y>0),
則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=$(-\sqrt{3}-x,-y)$•$(\sqrt{3}-x,-y)$=x2+y2-3=-$\frac{5}{4}$,
又$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1,聯(lián)立解得:$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$,
∴P$(1,\frac{\sqrt{3}}{2})$.
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2).
①若l的斜率不存在時,l:x=$±\frac{1}{2}$,代入橢圓方程得:y2=$\frac{15}{16}$,
容易得出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x1x2+y1y2=$\frac{1}{4}$-$\frac{15}{16}$=-$\frac{11}{16}$≠0,此時OA⊥OB不成立.
②若l的斜率存在時,設l:y=kx+m,
則由已知可得$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$,即k2+1=4m2.
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$,可得:(4k2+1)x2+8kmx+4(m2-1)=0,
則x1+x2=-$\frac{8km}{4{k}^{2}+1}$,x1•x2=$\frac{4({m}^{2}-1)}{4{k}^{2}+1}$.
要OA⊥OB,則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0,
即x1•x2+(kx1+m)(kx2+m)=km(x1+x2)+(k2+1)x1•x2+m2=0,
即5m2-4k2-4=0,又k2+1=4m2.
∴k2+1=0,此方程無實解,此時OA⊥OB不成立.
綜上,不存在這樣的直線l,使得OA⊥OB.
點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、向量數(shù)量積運算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關系,考查了分類討論方法、推理能力與計算能力,屬于難題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | x1<2,2<x2<5 | B. | x1>2,x2>5 | C. | x1<2,x2>5 | D. | 2<x1<5,x2>5 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{6}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{1}{3}$ | D. | 以上都不對 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 最大值為1,圖象關于直線$x=\frac{π}{2}$對稱 | B. | 在$({-\frac{3π}{8},\frac{π}{8}})$上單調(diào)遞增,為偶函數(shù) | ||
C. | 周期為π,圖象關于點$({\frac{3π}{8},0})$對稱 | D. | 在$({0,\frac{π}{4}})$上單調(diào)遞增,為奇函數(shù) |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\widehat{a}$+$\widehat$=3 | B. | $\widehat{a}$+3$\widehat$=2 | C. | 2$\widehat{a}$+$\widehat$=3 | D. | $\widehat{a}$+2$\widehat$=3 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
用水量t(單位:噸) | 每噸收費標準(單位:元) |
不超過2噸部分 | m |
超過2噸不超過4噸部分 | 3 |
超過4噸部分 | n |
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com