Question

1．已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，P為拋物線上的點(diǎn)，設(shè)|PK|=t|PF|，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是[1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由題意可得F（1，0），K（-1，0），過點(diǎn)P作PH垂直于準(zhǔn)線x=-1，垂足為H，由條件可得t=$\frac{|PK|}{|PF|}$=$\frac{|PK|}{|PH|}$，當(dāng)點(diǎn)P與原點(diǎn)O重合時(shí)，|PH|=|PK|，t有最小值為1；當(dāng)直線MN和拋物線相切時(shí)，t=$\frac{|PK|}{|PF|}$=$\frac{|PK|}{|PH|}$=$\frac{1}{cosθ}$有最大值．求出切線的斜率，即可求出的t最大值．

解答 解：由題意可得F（1，0），K（-1，0），過點(diǎn)P作PH垂直于準(zhǔn)線x=-1，垂足為H，
由拋物線的定義可得|PF|=|PH|
由條件可得t=$\frac{|PK|}{|PF|}$=$\frac{|PK|}{|PH|}$
如圖所示：

故當(dāng)點(diǎn)P與原點(diǎn)O重合時(shí)，|PH|=|PK|，t有最小值為1．
當(dāng)直線PK和拋物線相切時(shí)，t=$\frac{|PK|}{|PF|}$=$\frac{|PK|}{|PH|}$=$\frac{1}{cosθ}$有最大值，這里θ=∠PKF．
設(shè)當(dāng)直線PK和拋物線相切時(shí)，PK的方程為x=my-1，代入拋物線方程化簡(jiǎn)可得y²-4my+4=0．
由題意可得，此方程的判別式△=0，即16m²-16=0，∴m=±1，即 tanθ=1，
故cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故t的最大值為$\sqrt{2}$．
綜上可得t∈[1，$\sqrt{2}$]，
故答案為：[1，$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．