20.已知a,b,c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,asinB=bcos$\frac{A}{2}$,a=2,D為邊BC的中點(diǎn),過(guò)D向直線AB,AC引垂線,垂足分別為E,F(xiàn).
(1)求A;
(2)求DE+2DF的最大值.

分析 (1)結(jié)合正弦定理即可得出sinA=cos$\frac{A}{2}$,從而解出A;
(2)根據(jù)三角函數(shù)的定義用B表示出DE,DF,利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)得出最值.

解答 解:(1)在△ABC中,∵asinB=bcos$\frac{A}{2}$,∴$\frac{a}=\frac{cos\frac{A}{2}}{sinB}$,又由正弦定理得$\frac{a}=\frac{sinA}{sinB}$,
∴cos$\frac{A}{2}$=sinA=2sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$,解得sin$\frac{A}{2}$=$\frac{1}{2}$,
∵0<A<π,∴0<$\frac{A}{2}$<$\frac{π}{2}$.
∴$\frac{A}{2}=\frac{π}{6}$,A=$\frac{π}{3}$.
(2)∵D是BC的中點(diǎn),∴BD=CD=$\frac{1}{2}BC$=1.
∴DE=BDsinB=sinB,DF=CDsinC=sinC=sin($\frac{2π}{3}$-B)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB.
∴DE+2DF=2sinB+$\sqrt{3}$cosB=$\sqrt{7}$sin(B+φ).tanφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∵0<B<$\frac{2π}{3}$,φ>0.
∴當(dāng)B+φ=$\frac{π}{2}$時(shí),DE+2DF取得最大值$\sqrt{7}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理,三角函數(shù)的恒等變換,正弦函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.

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10.若數(shù)列{An}滿足An+1=An2,則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列{an}中,a1=9,且an+1=a${\;}_{n}^{2}$+2an,其中n為正整數(shù).
(Ⅰ)證明數(shù)列{an+1}是“平方遞推數(shù)列”,且數(shù)列{lg(an+1)}為等比數(shù)列.
(Ⅱ)設(shè)(Ⅰ)中“平方遞推數(shù)列”的前n項(xiàng)之積為Tn,即Tn=(a1+1)(a2+1)…(an+1),求lgTn
(Ⅲ)在(2)的條件下,記bn=$\frac{lg{T}_{n}}{lg({a}_{n}+1)}$,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn,并求使Sn>4030的n的最小值.

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11.已知實(shí)數(shù)a,b滿足關(guān)系a2=b2-b+1,則下列結(jié)論正確的是( 。
A.若a<1,b<$\frac{1}{2}$,則a>bB.若a<1,b<$\frac{1}{2}$,則a<b
C.若a>1,b>$\frac{1}{2}$,則a>bD.若a>1,b>$\frac{1}{2}$,則a<b

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8.如圖,在四邊形ABCD中,CB=CA=$\frac{1}{2}$AD=1,$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AD}$=-1,sin∠BCD=$\frac{3}{5}$.
(1)求證:AC⊥CD;
(2)求四邊形ABCD的面積;
(3)求sinB的值.

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15.如圖是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤$\frac{π}{2}}$)圖象的一部分,為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象,只要將y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)( 。
A.向左平移$\frac{π}{8}$個(gè)單位長(zhǎng)度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變
B.向右平移$\frac{π}{8}$個(gè)單位長(zhǎng)度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的$\frac{1}{2}$,縱坐標(biāo)不變
C.向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位長(zhǎng)度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的$\frac{1}{2}$,縱坐標(biāo)不變
D.向右平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位長(zhǎng)度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變

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5.已知全集U=R,集合A={x|x2-x-2≥0},B={x|x≥1},則(∁RA)∩B=( 。
A.{x|-1<x<1}B.{x|1≤x≤2}C.{x|-1≤x<1}D.{x|1≤x<2}

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12.已知全集U=R,集合A={x|y=log2(x-1)},B={y|y=2x},則B∩(∁UA)為( 。
A.(0,+∞)B.[1,+∞)C.(0,1]D.(1,2)

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9.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面PAD,AB∥CD,CD=2AB=2BC,M,N分別是棱PA,CD的中點(diǎn).
(1)求證:PC∥平面BMN;
(2)求證:平面BMN⊥平面PAC.

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10.已知函數(shù)f(x)=x2+ax+1,其中a∈R,且a≠0
(Ⅰ)若f(x)的最小值為-1,求a的值;
(Ⅱ)求y=|f(x)|在區(qū)間[0,|a|]上的最大值.

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