Question

2．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0、|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象的一部分如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）在[0，π]上的單凋遞增區(qū)間：
（2）已知g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1（0＜x＜π）}\\{\frac{1}{2}（x=π）}\\{0（π＜x＜2π）}\end{array}\right.$，求函數(shù)y=f（x）與y=g（x）圖象的所有交點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由題意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用當(dāng)x=$\frac{π}{6}$時(shí)取得最大值2，求出φ，即可得到函數(shù)的解析式，進(jìn)而可求其單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）令f（x）=g（x），分類(lèi)討論，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解得交點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由題意可知A=2，T=4×（$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{6}$）=π=$\frac{2π}{ω}$，解得ω=2，
因?yàn)椋寒?dāng)x=$\frac{π}{6}$時(shí)取得最大值2，
所以：2=2sin（2×$\frac{π}{6}$+φ），可得：2×$\frac{π}{6}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
因?yàn)椋簗φ|＜$\frac{π}{2}$，
所以：φ=$\frac{π}{6}$，
所以：函數(shù)f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
所以：函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z，
因?yàn)椋簒∈[0，π]，
所以：函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為：[0，$\frac{π}{6}$]，[$\frac{2π}{3}$，π]．
（2）∵f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1（0＜x＜π）}\\{\frac{1}{2}（x=π）}\\{0（π＜x＜2π）}\end{array}\right.$，
∴分類(lèi)討論：
①當(dāng)0＜x＜π時(shí)，由2sin（2x+$\frac{π}{6}$）=1，可得sin（2x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，解得：2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，即x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，從而解得其交點(diǎn)坐標(biāo)為：（$\frac{π}{3}$，1）．
②當(dāng)x=π時(shí)，f（π）=2sin（2π+$\frac{π}{6}$）=1，g（π）=$\frac{1}{2}$，無(wú)交點(diǎn)．
③當(dāng)π＜x＜2π時(shí)，由2sin（2x+$\frac{π}{6}$）=0，可得：2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，即x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z，
由于π＜x＜2π，可得2個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：（$\frac{17π}{12}$，0），（$\frac{23π}{12}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題給出函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象，要我們確定其解析式并求函數(shù)圖象與g（x）的交點(diǎn)坐標(biāo)，著重考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，注意函數(shù)的周期的求法，考查計(jì)算能力，�？碱}型，屬于中檔題．