Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$（a+1）x²+ax-$\frac{1}{2}$a²+36（a∈R）．
（1）若f（x）在R上單調(diào)遞增，求a的值；
（2）當(dāng)a＞1時，f（x）的極小值大于0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）≥0在R恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的現(xiàn)在求出a的值即可；
（2）求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，求出f（x）的極小值，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$（a+1）x²+ax-$\frac{1}{2}$a²+36，
f′（x）=x²-（a+1）x+a，
若f（x）在R上單調(diào)遞增，則f′（x）≥0在R恒成立，
∴△=（a+1）²-4a≤0，
解得：a=1；
（2）由（1）得：f′（x）=（x-a）（x-1），a＞1，
令f′（x）＞0，解得：x＞a或x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜a，
∴f（x）在（-∞，1）遞增，在（1，a）遞減，在（a，+∞）遞增，
∴f（x）_極小值=f（a）=-$\frac{1}{6}$a³+36＞0，
解得：a＜6，
故a的范圍是（1，6）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．