Question

2．已知函數(shù)f（x）=2lnx-xlna有兩個零點，則a的取值范圍為（　　）

• A． （0，1）
• B． （1，e）
• C． （1，e${\;}^{\frac{2}{e}}$）
• D． （e${\;}^{\frac{2}{e}}$，e）

Answer 1

分析 判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值點，令極大值大于零解出a即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{2}{x}-lna$．
令f′（x）=0得x=$\frac{2}{lna}$．
f（x）的定義域為（0，+∞）．
若$\frac{2}{lna}$≤0，即0＜a＜1，則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，與f（x）有兩個零點矛盾，不符合題意；
若$\frac{2}{lna}＞0$，即a＞1，則f（x）在（0，$\frac{2}{lna}$）上單調(diào)遞增，在（lna，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=$\frac{2}{lna}$時，f（x）取得最大值f_max（x）=f（$\frac{2}{lna}$）=2ln$\frac{2}{lna}$-2．
∵f（x）有兩個零點，∴2ln$\frac{2}{lna}$-2＞0．
即ln$\frac{2}{lna}$＞1，∴$\frac{2}{lna}＞e$，即lna＜$\frac{2}{e}$．
∴a＜e${\;}^{\frac{2}{e}}$．
又a＞1，
∴1＜a＜e${\;}^{\frac{2}{e}}$．
故選：C．

點評 本題考查了函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)零點的個數(shù)判斷，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，屬于中檔題．