Question

10．在△ABC中，已知AB=16，AC=12，BC=10，點(diǎn)I為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且存在實(shí)數(shù)λ、μ，使得$\overrightarrow{AI}$=$\overrightarrow{AB}$+λ（$\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}$+$\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$），$\overrightarrow{AI}$=$\overrightarrow{AC}$+μ（$\frac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|}$+$\frac{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|}$），則$\frac{\overrightarrow{CI}•\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{BC}|}$的值為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 運(yùn)用向量的加法運(yùn)算可得即有$\overrightarrow{BI}$=λ（$\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}$+$\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$），結(jié)合平行四邊形法則，可得BI平分內(nèi)角ABC，同理可得CI平分內(nèi)角ACB，由內(nèi)角平分線定理可得AI平分內(nèi)角BAC．即I為△ABC的內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，運(yùn)用余弦定理和面積公式，即可得到r，過(guò)I作ID⊥BC，垂足為D，運(yùn)用二倍角的余弦公式，以及同角的商數(shù)關(guān)系，計(jì)算可得CD=3，再由向量的數(shù)量積定義可得$\frac{\overrightarrow{CI}•\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{BC}|}$=CD=3．

解答 解：$\overrightarrow{AI}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BI}$=$\overrightarrow{AB}$+λ（$\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}$+$\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$），
即有$\overrightarrow{BI}$=λ（$\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}$+$\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$），
由$\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}$，$\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$分別為$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BC}$的單位向量，
結(jié)合平行四邊形法則，可得BI平分內(nèi)角ABC，
同理由$\overrightarrow{AI}$=$\overrightarrow{AC}$+μ（$\frac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|}$+$\frac{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|}$），可得CI平分內(nèi)角ACB，
由內(nèi)角平分線定理可得AI平分內(nèi)角BAC．
即I為△ABC的內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，
由余弦定理可得cos∠ACB=$\frac{A{C}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AC•BC}$=$\frac{144+100-256}{2×12×10}$=-$\frac{1}{20}$，
sin∠ACB=$\sqrt{1-（-\frac{1}{20}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{399}}{20}$，
即有△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$AC•BC•sin∠ACB=$\frac{1}{2}$×12×10×$\frac{\sqrt{399}}{20}$=3$\sqrt{399}$，
又S=$\frac{1}{2}$r（AC+CB+AB）=$\frac{1}{2}$r（12+10+16）=19r，
解得r=$\frac{3\sqrt{399}}{19}$，
過(guò)I作ID⊥BC，垂足為D，
由sin$\frac{∠ACB}{2}$=$\sqrt{\frac{1-cos∠ACB}{2}}$=$\sqrt{\frac{21}{40}}$，cos$\frac{∠ACB}{2}$=$\sqrt{\frac{1+cos∠ACB}{2}}$=$\sqrt{\frac{19}{40}}$，
在△CID中，CD=DI•cot$\frac{∠ACB}{2}$=$\frac{3\sqrt{399}}{19}$×$\sqrt{\frac{19}{21}}$=3．
則$\frac{\overrightarrow{CI}•\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{|\overrightarrow{CI}|•|\overrightarrow{CB}|•cos\frac{∠ACB}{2}}{|\overrightarrow{CB}|}$=|$\overrightarrow{CI}$|•cos$\frac{∠ACB}{2}$=|$\overrightarrow{CD}$|=3．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，同時(shí)考查向量共線定理的運(yùn)用，三角形的余弦定理和面積公式的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．