Question

5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）是直線y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{2}$上的兩點，則tan（α+β）的值為-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用已知條件通過直線與單位圓的關(guān)系求出A、B坐標(biāo)，然后利用兩角和的正切函數(shù)求解即可．

解答 解：由題意可得：A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）是單位圓上的點，與直線y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{2}$上的交點，
$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{y=\sqrt{3}x+\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$，x=$\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
cosα=$\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，sinα=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，
tanα=$\frac{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}{\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}}$=-2-$\sqrt{3}$．
cosβ=$\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$，
則sinβ=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$，
tanβ=$\frac{\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}}{\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}}$=2$-\sqrt{3}$．
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{-2-\sqrt{3}+2-\sqrt{3}}{1-（-2-\sqrt{3}）（2-\sqrt{3}）}$=$\frac{-2\sqrt{3}}{1+4-3}$=$-\sqrt{3}$．
故答案為：-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查三角恒等變換，兩角和與差的三角函數(shù)，可以利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求解，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．