Question

13．已知數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，a₂=3，且a₅是a₄，a₈的等比中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，求使a_n＜S_n成立的所有n的值．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)即可得出．
（2）由（1）可得：S_n=6n-n²．不等式a_n＜S_n，即7-2n＜6n-n²，化簡(jiǎn)解出即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，∵a₅是a₄，a₈的等比中項(xiàng)，∴${a}_{5}^{2}$=a₄•a₈，∴$（{a}_{1}+4d）^{2}$=（a₁+3d）（a₁+7d），
化為：5d+2a₁=0，又a₁+d=3，聯(lián)立解得：a₁=5，d=-2，
∴a_n=5-2（n-1）=7-2n．
（2）由（1）可得：S_n=$\frac{n（5+7-2n）}{2}$=6n-n²．
不等式a_n＜S_n，即7-2n＜6n-n²，化為：n²-8n+7＜0，解得1＜n＜7．
∴n=2，3，4，5，6．
∴使a_n＜S_n成立的所有n的值為2，3，4，5，6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．