Question

18．設(shè)同時(shí)滿足條件：①$\frac{{{b_n}+{b_{n+2}}}}{2}$≥b_n+1；②b_n≤M（n∈N^*，M是常數(shù)）的無(wú)窮數(shù)列{b_n}叫做P數(shù)列，已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=$\frac{a}{a-1}$（a_n-1）（a為常數(shù)，且a≠0，a≠1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{{2{S_n}}}{a_n}$+1，若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，求a的值；并證明數(shù)列{$\frac{1}{b_n}$}為P數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列遞推式可得數(shù)列{a_n}是以a為首項(xiàng)、a為公比的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）由（1）知，$_{n}=\frac{2×\frac{a}{a-1}（{a}_{n}-1）}{{a}_{n}}+1=\frac{（3a-1）{a}_{n}-2a}{（a-1）{a}_{n}}$，再由數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，得a=$\frac{1}{3}$，聯(lián)立可得$_{n}={3}^{n}$．驗(yàn)證滿足條件①②得答案．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，${a}_{1}={S}_{1}=\frac{a}{a-1}（{a}_{1}-1）$，∴a₁=a．
當(dāng)n≥2時(shí)，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{a}{a-1}（{a}_{n}-{a}_{n-1}）$，整理得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=a$，
即數(shù)列{a_n}是以a為首項(xiàng)、a為公比的等比數(shù)列，∴${a}_{n}=a•{a}^{n-1}={a}^{n}$；
（2）由（1）知，$_{n}=\frac{2×\frac{a}{a-1}（{a}_{n}-1）}{{a}_{n}}+1=\frac{（3a-1）{a}_{n}-2a}{（a-1）{a}_{n}}$，（*）
由數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，則${_{2}}^{2}=_{1}_{3}$，
故$（\frac{3a+2}{a}）^{2}=3•\frac{3{a}^{2}+2a+2}{{a}^{2}}$，解得a=$\frac{1}{3}$，
再將$a=\frac{1}{3}$代入（*）式，得$_{n}={3}^{n}$．
由于$\frac{\frac{1}{_{n}}+\frac{1}{_{n+2}}}{2}=\frac{\frac{1}{{3}^{n}}+\frac{1}{{3}^{n+2}}}{2}＞\frac{2\sqrt{\frac{1}{{3}^{n}}•\frac{1}{{3}^{n+2}}}}{2}$=$\frac{1}{{3}^{n+1}}=\frac{1}{_{n+1}}$，滿足條件①；
又由于$\frac{1}{_{n}}=\frac{1}{{3}^{n}}≤\frac{1}{3}$，故存在M$≥\frac{1}{3}$滿足條件②．
故數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}為P數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．