Question

15．已知命題p：實數(shù)m滿足m²-7ma+12a²＜0（a＞0），命題q：滿足方程$\frac{x^2}{m-1}$+$\frac{y^2}{2-m}$=1表示焦點在y軸上的橢圓，若￢p是￢q的必要而不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)命題p、q分別求出m的范圍，再根據(jù)p是q的充分不必要條件列出關(guān)于a的不等式組，解不等式組即可

解答 解：由m²-7am+12a²＜0（a＞0），則3a＜m＜4a
即命題p：3a＜m＜4a，
實數(shù)m滿足方程$\frac{x^2}{m-1}$+$\frac{y^2}{2-m}$=1表示焦點在y軸上的橢圓，
則$\left\{\begin{array}{l}{2-m＞0}\\{m-1＞0}\\{2-m＞m-1}\end{array}\right.$，
即，解得1＜m＜$\frac{3}{2}$，
因為￢p是￢q的必要而不充分條件，所以p是q的充分不必要條件，
則$\left\{\begin{array}{l}{3a≥1}\\{4a≤\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{3}$≤a≤$\frac{3}{8}$，
故實數(shù)a的取值范圍為：[$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{8}$]．

點評 本題考查充分條件、必要條件，一元二次不等式的解法，根據(jù)不等式的性質(zhì)和橢圓的性質(zhì)求出p，q的等價條件是解決本題的關(guān)鍵．