Question

15．（1）i是虛數(shù)單位，若復數(shù)z=$\frac{15-5i}{（2+i）^{2}}$，且ω=z²+3$\overline{z}$-1，求ω在復平面中所對應的點的坐標；
（2）i是虛數(shù)單位，若復數(shù)z滿足方程z•$\overline{z}$-2zi=1+2i，求復數(shù)z．

Answer 1

分析 （1）利用復數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出．
（2）利用復數(shù)的運算法則、復數(shù)相等即可得出．

解答 解：（1）復數(shù)z=$\frac{15-5i}{（2+i）^{2}}$=$\frac{15-5i}{3+4i}$=$\frac{（15-5i）（3-4i）}{（3+4i）（3-4i）}$=$\frac{25-75i}{25}$=1-3i，
∴ω=z²+3$\overline{z}$-1=（1-3i）²+3（1+3i）-1=-6+3i，
∴ω在復平面中所對應的點的坐標為（-6，3）．
（2）設z=a+bi（a，b∈R），則$z•\overline{z}$=a²+b²，
即a²+b²+2b-2ai=1+2i，
由$\left\{\begin{array}{l}{-2a=2}\\{{a}^{2}+^{2}+2b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴z=-1或z=-1-2i．

點評 本題考查了復數(shù)的運算法則、復數(shù)相等、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．