Question

3．如圖，四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥面ABCD，E為PD的中點，AD∥BC，AB⊥AD，AD=2AB=2BC．求證：
（1）CE∥面PAB；
（2）DC⊥面PAC．

Answer 1

分析 （1）取PA的中點為G，連接BG、EG，得到四邊形BGEC為平行四邊形，所以EC∥BG；
（2）因為AB⊥AD，BC∥AD，AB=BC，AD=2BC，易證得CD⊥AC．判斷CD⊥平面PAC．

解答 證明：（1）取PA的中點為G，連接BG、EG，則EG∥$\frac{1}{2}$AD，EG=$\frac{1}{2}$AD，
又BC∥AD，BC=$\frac{1}{2}$AD，所以EG∥BC，EG=BC，四邊形BGEC為平行四邊形．
所以EC∥BG．
又EC?平面PAB，BG?平面PAB，
故EC∥平面PAB．
（2）因為AB⊥AD，BC∥AD，AB=BC，AD=2BC，易證CD⊥AC．
因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，
因為PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC．

點評 本題考查了線面平行的判定定理以及線面垂直的判定定理的運用關(guān)鍵是熟練定理和性質(zhì)的運用．