Question

5．小波以游戲的方式決定是去打球、唱歌還是去下棋．游戲規(guī)則為以O為起點，再從A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，A₆（如圖）這6個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量，記住這兩個向量的數(shù)量積為X，若X＞0就去打球，若X=0就去唱歌，若X＜0就去下棋．
（1）寫出數(shù)量積X的所有可能取值
（2）分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．

Answer 1

分析 （1）寫出以O為起點，以A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，A₆為終點的斜率的坐標，可得數(shù)量積X的所有可能取值；
（2）分別求出數(shù)量積為-2，-1，0，1的情況種數(shù)，再由古典概型概率計算公式求解．

解答 解：（1）$\overrightarrow{O{A}_{1}}=（1，0），\overrightarrow{O{A}_{2}}=（1，-1）$，$\overrightarrow{O{A}_{3}}=（0，-1），\overrightarrow{O{A}_{4}}=（0，1）$，$\overrightarrow{O{A}_{5}}=（-1，1），\overrightarrow{O{A}_{6}}=（-1，0）$，
X 的所有可能取值為-2，-1，0，1；
（2）數(shù)量積為-2的只有 一種
數(shù)量積為-1的有$\overrightarrow{O{A}_{1}}•\overrightarrow{O{A}_{5}}$，$\overrightarrow{O{A}_{1}}•\overrightarrow{O{A}_{6}}$，$\overrightarrow{O{A}_{2}}•\overrightarrow{O{A}_{4}}$，$\overrightarrow{O{A}_{2}}•\overrightarrow{O{A}_{6}}$，$\overrightarrow{O{A}_{3}}•\overrightarrow{O{A}_{4}}$，$\overrightarrow{O{A}_{3}}•\overrightarrow{O{A}_{5}}$，六種；
數(shù)量積為0的有$\overrightarrow{O{A}_{1}}•\overrightarrow{O{A}_{3}}$，$\overrightarrow{O{A}_{1}}•\overrightarrow{O{A}_{4}}$，$\overrightarrow{O{A}_{3}}•\overrightarrow{O{A}_{6}}$，$\overrightarrow{O{A}_{4}}•\overrightarrow{O{A}_{6}}$，四種；
數(shù)量積為1的有$\overrightarrow{O{A}_{1}}•\overrightarrow{O{A}_{2}}$，$\overrightarrow{O{A}_{2}}\overrightarrow{O{A}_{3}}$，$\overrightarrow{O{A}_{4}}•\overrightarrow{O{A}_{5}}$，$\overrightarrow{O{A}_{5}}•\overrightarrow{O{A}_{6}}$，四種．
故所有可能的情況共有15種．
∴小波去下棋的概率為p₁=$\frac{7}{15}$；
∵去唱歌的概率為p₂=$\frac{4}{15}$，∴小波不去唱歌的概率為p=1-p₂=1-$\frac{4}{15}$=$\frac{11}{15}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查古典概型概率計算公式，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．