Question

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的非負(fù)數(shù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，直線l的參數(shù)方程為

x=1+ 1 2 t y=-3 3 + 3 2 t

（t為參數(shù)），直線l與曲線C相交于A，B兩點．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）在直角坐標(biāo)系中，求線段AB的中點坐標(biāo)．

Answer 1

考點：直線的參數(shù)方程,簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，可求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）直線l的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出過圓心C（2，0）與直線l垂直的直線l′：x+

3

y-2=0，與

3

x-y-4

3

=0聯(lián)立，解方程組得AB中點的坐標(biāo)．

解答： 解：（Ⅰ）曲線ρ=4cosθ對應(yīng)的普通方程為x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4；
（Ⅱ）直線l的參數(shù)方程為

x=1+ 1 2 t y=-3 3 + 3 2 t

（t為參數(shù)），
直角坐標(biāo)方程為

3

x-y-4

3

=0，
圓心C（2，0）到直線l的距離d=

|2 3 -4 3 |

1+3

=

3

＜2，
∴直線l與C相交，
過圓心C（2，0）與直線l垂直的直線l′：x+

3

y-2=0，
與

3

x-y-4

3

=0聯(lián)立，解方程組得AB中點的坐標(biāo)為（

7

2

，-

3

2

）．

點評：本題主要考查直線的參數(shù)方程和圓的極坐標(biāo)方程．熟練掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式是解題的關(guān)鍵．