Question

8．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，lgc-lga=-lgsinB=lg$\sqrt{2}$，且∠B為銳角，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得出B，及a，c的關(guān)系，代入余弦定理得出a，b的關(guān)系，求出A，B，C得出結(jié)論．

解答 解：∵lgc-lga=-lgsinB=lg$\sqrt{2}$，
∴l(xiāng)g$\frac{c}{a}$=lg$\frac{1}{sinB}$=lg$\sqrt{2}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，c=$\sqrt{2}a$．
∵∠B為銳角，∴B=45°．
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+2{a}^{2}-^{2}}{2\sqrt{2}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a=b．
∴A=B=45°，
∴C=90°．
∴△ABC是等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，余弦定理，屬于中檔題．